Distances équivalentes \(d_1\) et \(d_2\)
Distances telles que \(\rm{id}\) \(:(E,d_1)\to (E,d_2)\) est une Fonction lipschitzienne d'inverse lipschitzien. $$\exists C_1,C_2\in{\Bbb R},\forall x,y\in E,\quad C_1d_1(x,y)\leqslant d_2(x,y)\leqslant C_2d_1(x,y)$$

• propriété utile : deux distances équivalentes définissent la même Topologie
    
• si on a seulement l'une des deux inégalités, alors l'une des deux topologies est plus fine que l'autre

Montrer que deux distances équivalentes définissent la même topologie.

Transformer les inégalités en inclusions de boules.
Les inégalités de l'équivalence des distances donne directement les inclusions de boules : $$B_1\left( x,\frac r{C_2}\right)\subset B_2(x,r)\subset B_1\left( x,\frac r{C_1}\right)$$

On a donc l'équivalence des topologies par les Base de voisinages (car les Voisinages caractérisent la topologie).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de deux distances qui définissent la même topologie, mais qui ne sont pas équivalentes.
Verso: La distance euclidienne et la distance \(d:(x,y)\mapsto\frac{\lvert x-r\rvert}{1-\lvert x-y\rvert}\) sur \({\Bbb R}\).
Bonus:
END